Для скачивания файлов с сайта в приложении на Android с помощью FireMonkey в Delphi можно использовать компонент TNetHTTPClient из библиотеки System.Net.HttpClient.

Пример кода для скачивания файла с сайта:

uses
  System.Net.HttpClient, System.Net.URLClient;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  httpClient: TNetHTTPClient;
  url: TURI;
  response: IHTTPResponse;
  filename: string;
begin
  // Создаем экземпляр клиента HTTP
  httpClient := TNetHTTPClient.Create(nil);
  try
    url := TURI.Create('https://example.com/file.txt'); // Задаем URL файла для скачивания
    response := httpClient.Get(url); // Скачиваем файл
    filename := TPath.Combine(TPath.GetDocumentsPath, 'file.txt'); // Задаем имя файла и путь сохранения
    TFile.WriteAllBytes(filename, response.RawBytes); // Сохраняем файл
    ShowMessage('Файл успешно скачан');
  finally
    httpClient.Free;
  end;
end;

В этом примере мы создаем экземпляр TNetHTTPClient, задаем URL файла для скачивания, скачиваем файл методом Get и сохраняем его на устройстве с помощью TFile.WriteAllBytes.

firemonkey